导学｜认知结构化：横比纵联前溯后延
“生长数学”的内容特色
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上下求索，只为生长；
优化生态，改良教育，
服务他人，成长自己。
“生长数学”善于突破繁复的知识和题海，从思维发展的角度研究学和教的根本原则和最佳途径，促进知识和思维的整体发展自然生长。
人的生长是一项系统工程，包括信念、兴趣、思维、习惯的同步发展。本平台新增“视听”栏目，收集与数学思维有关的有趣有料有意义接地气的视听资源，以多种形式渗透正确的观念和思维，增加内在的体验和思考。
数学不只冰冷的美丽，还有活泼的情趣，我们生活的世界就是最好的课本，我们要善于从中发掘有用的学习材料，让学生在潜移默化中得以进步成长。
结构决定功能
一台电脑拆开只是一堆无用的垃圾，一辆汽车拆开只是一堆无用的废铁，因为它们失去了原有的优良结构。坚硬无匹的金钻石与柔软滑腻的石墨所含原子完全一样，区别也在于它们有不同的结构。知识也一样，结构方式不同效用也大不相同。
具有优良结构的知识不但有助于深层理解和扎实掌握，还有助于知识的生长和创造。
优良结构的特征：联系紧密，组织有序，多向沟通，持续生长。
如何增强知识的结构性？
1.横向对比
2.纵向联系
3.向前追溯
4.向后延伸
5.变换视角
6.融合创新
横向对比
例1.等腰三角形与直角三角形的对比：
等腰三角形特殊在边，直角三角特殊在角，这两种图形的特征进行对比，理解会更深和记忆会更清晰。
纵向联系
例2.等差数列与一次函数、等比数列的联系：
1.等差数列与一次函数的联系：
2.等差数列与等比数列的联系：
向前追溯
追溯知识之源，理解知识的发展脉络和相互联系。
例3.二次函数的追溯：
1.二次函数与二次多项式：
二次多项式的值与所含字母的关系就是二次函数值与自变量的关系；二次多项式按字母的降幂排列就是二次函数的一般式；二次多项式配成完全平方形式就是二次函数的顶点式；二次多项式分解因式就是二次函数的交点式。
2.二次函数与一元二次方程：
二次函数值确定求自变量就是一元二次方程；一元二次方程的根就是抛物线与x轴的交点坐标；一元二次方程根的情况决定抛物线与x轴交点的个数。
3.一元二次方程与一元一次方程：一元二次方程是两个一元一次方程的乘积；一元二次方程通过开方或分解因式降为一次方程。
向后延伸
把知识进行适当延伸有利于加深对本知识的理解，还可以拓展知识边界，培养思维的创造性。
例4.一元一次不等式的延伸：
1.一元一次不等式与绝对值不等式：根据绝对值的性质转化为一元一次不等式。
2.一元一次不等式与分式不等式：根据不等式的基本性质转化为一元一次不等式。
3.一元一次不等式与一元二次不等式：根据乘法符号法则转化为一元一次不等式。
变换视角
变换视角看待和理解问题，把不同领域的知识融为一体，有利于培养思维的灵活性和创造性。
例5.变换角度看二项式的乘方：
例6.从运算级别的升降看运算法则的规律：
理解上述规律，对于这样的问题就可以轻松解决了：两条模样相同，大小不同的鱼，大鱼是小鱼长度的2倍，大鱼的重量应是小鱼的几倍？
融合创新
把基本图形融合成常用的图形组块，随着学习的深入再把有联系的图形组块继续融合成更大更高概括性更强的组块。
如：从旋转模型到双等腰模型、一转成双模型。
此模型详见文章：相似变换之一转成双
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